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If sin8 θ + cos8 θ - 1 = 0, then what is the value of cos2 θ sin2 θ (If θ ≠ 0 or π/2)?
- A-1
- B0
- C1
- D2
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CCommunity
Let (cos2 θ sin2 θ) = x
Given, sin8 θ + cos8 θ - 1 = 0
⇒ (sin4 θ)2 + (cos4 θ)2 = 1
⇒ (sin4 θ + cos4 θ)2- 2sin4 θcos4 θ = 1 [? a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab]
⇒ [(sin2 θ)2 + (cos2 θ)2]2 - 2(sin2 θcos2 θ)2 = 1
⇒ [(sin2 θ + cos2 θ)2 - 2sin2 θcos2 θ]2 - 2x2 = 1 [? a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab]
⇒ (1 - 2x)2 - 2x2 = 1 [? sin2 θ + cos2 θ = 1]
⇒ 1 - 4x + 4x2 - 2x2 = 1
⇒ 2x2 = 4x
⇒ x = 2
∴ (cos2 θ sin2 θ) = 2
Given, sin8 θ + cos8 θ - 1 = 0
⇒ (sin4 θ)2 + (cos4 θ)2 = 1
⇒ (sin4 θ + cos4 θ)2- 2sin4 θcos4 θ = 1 [? a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab]
⇒ [(sin2 θ)2 + (cos2 θ)2]2 - 2(sin2 θcos2 θ)2 = 1
⇒ [(sin2 θ + cos2 θ)2 - 2sin2 θcos2 θ]2 - 2x2 = 1 [? a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab]
⇒ (1 - 2x)2 - 2x2 = 1 [? sin2 θ + cos2 θ = 1]
⇒ 1 - 4x + 4x2 - 2x2 = 1
⇒ 2x2 = 4x
⇒ x = 2
∴ (cos2 θ sin2 θ) = 2